Les mathématiques en partage : le tokamak et la fin du monde (2)

L'intérieur du tokamak du Joint European Torus. EUROfusion, CC BY

Nous poursuivons avec cet article la suite de notre série sur le cycle « Un texte, un mathématicien » inaugurée mercredi. Aujourd’hui, Jürgen Möser et la question de la stabilité à long terme des systèmes planétaires.

En 1889, le mathématicien Henri Poincaré fut désigné comme lauréat du prix du roi Oscar II de Suède, pour son mémoire sur le « problème des trois corps », dans lequel des avancées majeures étaient accomplies. L’annonce en fut faite le 20 janvier, jour du 60e anniversaire d’Oscar. Mais quelques mois plus tard, le jeune étudiant, Lars Phragmen, chargé de relire les épreuves du mémoire qui avait, bien imprudemment, déjà été imprimé, trouvait une faille dans la démonstration de Poincaré, encore assez jeune professeur, mais déjà reconnu comme étant un mathématicien de première importance.

Henri Poincaré. Wikipédia

Catastrophe : Poincaré, alerté, dut reconnaître une faute de raisonnement. Il remboursa les frais d’impression de la revue Acta Mathematica, récemment fondée, qui est aujourd’hui une des plus prestigieuses. Il fallut récupérer les exemplaires déjà en circulation… et Poincaré se remit au travail pour essayer de corriger cette erreur, une des plus célèbres de l’histoire des mathématiques. Il y parvint un an plus tard, en découvrant au passage un phénomène qui lui avait échappé en première analyse : la possibilité d’un comportement désordonné – c’est le point de départ de ce qu’on appelle aujourd’hui théorie du chaos.

De l’harmonie au Chaos, par Aurélien Alvarez.

Pour en situer l’enjeu, faisons un peu de mathématiques. Le « problème des trois corps » est l’étude des mouvements relatifs de trois astres (trois « corps »), typiquement une étoile et deux planètes, ou une étoile, une planète et une lune de cette planète ; c’est bien plus difficile que le problème « à deux corps » (une étoile, une planète) par lequel nous allons commencer.

Les trois corps : J, M, S. Image des maths

La loi de Newton de l’attraction universelle (1687) nous dit que ces deux masses s’attirent mutuellement avec une force qui est proportionnelle à chacune d’entre elles, et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Dans ce cas, les équations du mouvement peuvent être complètement résolues : si on considère l’étoile, massive, comme étant fixe, alors la planète décrit une trajectoire elliptique (circulaire aplatie). Ce fut un des triomphes de Newton que de faire le lien entre sa loi d’attraction universelle et la loi empirique de Kepler au XVIe siècle qui avait montré que la trajectoire des planètes autour du soleil est elliptique.

Mathématiquement, on déduit de la loi d’attraction universelle et des autres lois de Newton que la position des planètes par rapport à l’étoile vérifie une équation mathématique appelée équation différentielle ; les équations différentielles relient typiquement position, vitesse et accélération.

Ces équations, mal connues, nous gouvernent : elles décrivent comme on l’a vu le mouvement des planètes, mais bien d’autres choses comme la trajectoire des boulets de canon, les phénomènes électriques, la propagation des épidémies, la croissance de la population, la cuisson des aliments… On sait résoudre beaucoup d’équations différentielles, par exemple celle du problème à deux corps depuis Newton, et ça a été une des grandes réussites des mathématiciens du XVIIe et du XIXe siècle, comme les Bernoulli, d’Alembert, Euler, Lagrange, Fourier de savoir en résoudre d’autres, mais on ne sait en fait pas résoudre la plupart de ces équations. C’est Poincaré qui prit acte de cette difficulté et vit qu’on pouvait étudier certaines propriétés des solutions sans savoir les résoudre.

Précisément le passage d’une à deux planètes, donc de deux à trois corps, fait passer de l’univers des équations qu’on sait résoudre à celle que l’on ne sait pas résoudre, ni la fin du XIXe siècle, ni au début du XXIe siècle. La complication vient de ce que non seulement l’étoile et chaque planète s’attirent mutuellement, mais les deux planètes elles aussi s’attirent l’une l’autre. Certes, l’attraction planète 1–planète 2 est bien plus faible que étoile–planète 1 et étoile–planète 2 ; par exemple l’attraction de Vénus sur la Terre est de l’ordre de 2 millionièmes de l’attraction du Soleil sur la Terre.

À court terme (le court terme des astronomes n’est pas le même que celui de la politique ou du monde des affaires : il se mesure en centaines de milliers d’années), les orbites sont à très peu de choses près elliptiques, comme si l’attraction mutuelle des planètes était nulle. Mais la théorie ne permet pas de dire si cette infime attraction ne va pas changer complètement l’évolution du système à long terme (d’ici quelques centaines de millions d’années). Le problème mathématique est donc celui de la stabilité à long terme de systèmes comme le système solaire.

Les travaux de Poincaré de la fin du XIXe siècle sont les premiers à s’y consacrer, mais le problème est très loin d’être épuisé. Une avancée fondamentale date des années 1950 et 1960, avec la théorie « KAM », un nom formé des initiales de ses trois inventeurs : Andrei Kolmogorov, qui l’introduisit en 1954, mais sans en donner des démonstrations, Vladimir Arnold et Jürgen Moser qui en complétèrent, indépendamment, les énoncés précis et les démonstrations au début des années 1960.

« KAM » est maintenant une méthode générale, un nom commun pour les spécialistes – parmi lesquelles Marie-Claude Arnaud, qui présentait hier sa conférence « Jürgen et les tokamaks ». L’accent y est mis en particulier sur le point de vue de Jürgen Moser, mais évoque aussi les applications récentes de la théorie KAM. Non seulement en mathématiques, mais aussi dans des applications en physique nucléaire, les fameux tokamaks, dispositifs expérimentant la production d’énergie par fusion nucléaire.

Il ne faut pas croire pour autant qu’il s’agisse d’une affaire réservée aux spécialistes, car l’enjeu nous concerne tous : la question n’est rien de moins que de savoir si le système solaire est stable à longue échéance, c’est-à-dire de savoir si la fin du monde est proche !

Le système solaire. WikiImages/Pixabay

Le scénario serait qu’à un moment, la trajectoire d’une des planètes du Soleil pourrait s’écarter tellement de son orbite habituelle qu’elle pourrait en percuter une autre, ou tout au moins déstabiliser complètement le système solaire. Rassurons-nous quand même, « proche » est au sens des astronomes : les calculs les plus pessimistes ne prévoient rien de catastrophique avant 1,5 milliard d’années.