Menu Close

Comment (presque) tout calculer grâce aux « problèmes de Fermi »

Illustration de personnes utilisant des outils mathématiques.
Illustration de personnes utilisant des outils mathématiques. VectorMine/Shutterstock

Les ordres de grandeur sont fréquemment utilisés dans les sciences, mais surtout dans les sciences de l’ingénieur et permettent aussi de répondre à des questions qui peuvent paraître insolites telles que : combien de litres d’essence sont consommés par les automobiles en France quotidiennement ? Ou combien possède-t-on d’atomes ayant appartenu à Cléopâtre ? Il est possible de répondre assez facilement à ce type de questions, connues sous le nom de « problèmes de Fermi », en utilisant quelques données de base. Ils sont particulièrement bien adaptés pour aborder de manière scientifique les enjeux énergétiques dont il est question actuellement : par exemple, quelle serait la consommation journalière en charbon d’une chaudière de puissance analogue à celle d’un réacteur nucléaire, c’est-à-dire de l’ordre de 1 Gigawatt ?

Cette démarche a été développée par le physicien nucléaire Enrico Fermi (1901-1954) qui posait ce type de problèmes à ses étudiants de l’Université de Chicago.

Enrico Fermi a fait ses études à l’université de Pise, puis dans les principaux centres de physique théorique d’Europe. En 1926, il devient professeur à l’université de Rome, et, à partir de 1932, il concentre ses recherches sur la physique nucléaire qui le conduiront à l’obtention du prix Nobel de Physique de l’année 1938. En 1939, Fermi émigre aux États-Unis avec sa famille pour fuir le fascisme et devient professeur de physique à l’université de Columbia.

Résolution d’un problème de Fermi

En voulant résoudre un problème de Fermi, on sait dès le début que le résultat sera compris entre deux puissances de 10 successives (10, 100, 1000…), et ne sera qu’un ordre de grandeur. Le point de départ réside bien sûr dans l’analyse du problème à traiter, en identifiant les paramètres physiques qui interviennent dans le phénomène étudié, et en évaluant leurs ordres de grandeur.

À ce niveau, on perçoit l’utilité des divers enseignements que chacune et chacun d’entre nous a reçus tout au long de sa scolarité, quelle que soit la matière étudiée : valeur du rayon de la Terre dans le cours de géographie, production de l’électricité avec les barrages, ou avec des centrales thermiques à gaz, à charbon, ou nucléaires dans les enseignements de physique et de technologie.

Très souvent, il n’est pas possible de proposer un ordre de grandeur unique pour une donnée physique. Dans ce cas, on fait appel à la notion de moyenne géométrique qui permet de conserver le concept de départ choisi (on reste entre deux puissances de 10 successives).

Encadrement d’une grandeur entre deux valeurs estimées.
● On cherche une valeur V que l’on évalue située entre deux valeurs V_1 et V_2, avec V_2>V_1.
● On veut que V soit tel que V=αV_1 et que V_2=αV. Ceci conduit à calculer V selon la moyenne géométrique de V_1 et V_2.
● V=√(V_1 V_2)

Reprenons notre problème

Quelle est la puissance électrique typique en sortie d’un alternateur de centrale nucléaire ? Les données sont variées, et vont de 500 MW (réacteur de Saint-Laurent) à 1 600 Mégawatts (MW) pour un EPR. La valeur calculée est V=√800 000 soit environ 900 MW. Comme nous nous intéressons aux ordres de grandeur, on arrondit à 1 000 MW, soit 1 Gigawatt. Les calculs numériques n’en seront que plus simples !

Quelques données utiles pour traiter notre problème de Fermi :
● 1 electronVolt (eV) = 1.6 10-19 Joules(J)
● Masse volumique de l’air (conditions normales) = 1.29 kg/m3
● Énergie de réaction C+O_2→〖CO〗_2 = 1.5 eV
● Énergie de réaction de fission du noyau d’uranium 235U = 200 MeV
● Masse molaire du 12C = 12 g/mol
● Nombre d’Avogadro = 6.1023 mol-1

On considère un réacteur nucléaire de puissance électrique égale à P=1GW. En tenant compte du rendement de Carnot de 30 % de cette machine thermique, il est nécessaire de consommer une puissance thermique P=3.3GW.

On considère un réacteur nucléaire de puissance électrique égale à P=1GW. En tenant compte du rendement de Carnot de 30 % de cette machine thermique, il est nécessaire de consommer une puissance thermique P=3.3GW.

En effet, le rendement de Carnot est le rendement maximum que peut avoir une machine thermique idéale, cette dernière étant définie comme un dispositif capable de transformer de la chaleur en travail. Le rapport entre le travail fourni par la machine et la chaleur dépensée pour produire ce travail est toujours inférieur au rendement de Carnot.

Le facteur de charge est la charge moyenne annuelle effective rapportée à la charge nominale de l’installation ; il est de 80 % pour un réacteur nucléaire. Une année correspond à une durée en secondes égale à : 365 jours fois 24 heures fois 3 600 secondes, soit 365 fois 86400 secondes. Sachant que la puissance de 3.3 GW correspond à une énergie de 3.3 GJ par seconde, nous trouvons que l’énergie nécessaire pour alimenter le réacteur nucléaire pendant une année est :

E_1an=3,3109 × 0,8×365×86400 = 3,31016 J

Nous savons de nos cours de chimie que la combustion d’un atome de carbone produit une énergie égale à 1,5 eV, soit 1,5×1,6.10-19 J=2,410-19 J.

Pour alimenter la chaudière en charbon, il faut « brûler » un nombre N_C d’atomes de carbone égal à :
N_C= 3,3.1016 / 2,410-19 =1,31035.
N_C correspond à un nombre de moles de carbone égal à :
N_moles=N_C⁄(6,021023)=2.1011moles.
Sachant que la masse molaire du carbone est de 12 g/mol, on en déduit la masse de carbone brûlée pendant une année :
M_1an=2.1011×12.10-3kg = 2.4 millions de tonnes.

Sur une journée, cela correspond à une masse de carbone de 6600 tonnes. En imaginant des camions de 50 tonnes de charge, cela correspond à 132 camions par jour, soit un camion toutes les 12 minutes. Je déconseille d’habiter à proximité de cette centrale, ne serait-ce que par les nuisances occasionnées par les camions de livraison du charbon. Enfin, je laisse le soin à la lectrice ou au lecteur de déterminer la masse de gaz carbonique produite chaque jour. Une indication : sur une journée, évaluer le nombre de moles de carbone brûlées. Il est égal au nombre de moles de CO2 produites. Avec la masse molaire du CO2 (44 g/mol), on doit trouver de l’ordre de 22000 tonnes produites chaque jour.

Cette approche de la physique avec les problèmes de Fermi nécessite d’avoir assimilé des connaissances de culture générale, et c’est ce qui est fait dans nos écoles élémentaires, nos collèges et nos lycées dans des disciplines multiples.

[Près de 80 000 lecteurs font confiance à la newsletter de The Conversation pour mieux comprendre les grands enjeux du monde. Abonnez-vous aujourd’hui]

Très souvent, à la fin de mes TD ou de mes cours, je pose un problème de Fermi à mes élèves ingénieurs, et certaines, certains, y ont pris goût. Pour ce qui concerne les problèmes environnementaux traités de manière analogue à celle de Fermi, je suggère de consulter ces deux ouvrages. Ces deux références ont des titres tout à fait singuliers (considérons une vache sphérique… cylindrique…) permettent de découvrir la durée de résidence du carbone dans la végétation continentale ou marine de notre planète Terre, mais aussi des calculs sur l’effet de serre dont il est souvent question actuellement.

Want to write?

Write an article and join a growing community of more than 179,100 academics and researchers from 4,897 institutions.

Register now