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Fractal de Julia. Wikimedia Commons / Hskim000

Cómo las figuras fractales nos ayudan a comprender el mundo y salvar vidas

El mundo está fractal. Y no me refiero al hambre en el mundo. Ni al cáncer, a la guerra o al último programa de la Isla de las Tentaciones.

Fractal es la naturaleza, el cosmos y la manera que tenemos de interpretarlos. El concepto de fractalidad nos sirve cada día. De hecho, en los tiempos que corren cada vez lo usamos más y salva muchas vidas.

Por cierto, qué expresión más fea la de “los tiempos que corren”. Es cierto que el tiempo corre, a veces, hasta vuela; pero mejor vamos a hablar del tiempo con calma, ¿no?

Podríamos hablar de “los tiempos que pasean”. Así nos daríamos cuenta del paisaje de alrededor. Contemplaríamos el mundo y, por tanto, lo descubriríamos mucho más. Si el tiempo pasea, de cuando en cuando ocurre una serendipia: un hallazgo involuntario o no direccionado. Los fractales son fruto de ese paseo.

¿Son suficiente las figuras geométricas para entender el mundo?

El mundo está fractal, sí. Pero eso lo sabemos desde hace bien poco. De hecho, en la Grecia Antigua se pensaba que la naturaleza se describía con figuras geométricas regulares. Establecieron un estudio sobre triángulos, rectángulos, polígonos de muchos e incluso infinitos lados, como el caso de la circunferencia.

Se vinieron arriba. Tenían, incluso, números irracionales. Uno descubrió el número √2; otro, el π; otro, el número φ. Era todo maravilloso.

Pero los triángulos y rectángulos resultaban insuficientes para explicar la geometría de los árboles, montañas, copos de nieve o cualquier superficie irregular, como la cara de Jordi González. Y como las matemáticas no dejan de avanzar y sorprendernos, a mitad de siglo XX se descubrió otro tipo de figura que no respondía a la geometría clásica.

Un fractal es una figura con una estructura que se repite continuamente y que tiene una cierta dimensión. Hay algo que se repite una y otra vez, una y otra vez… ¿Recuerda las conversaciones con su cuñado? Algo así. Como la figura de un copo de nieve, como cuando nos miramos en dos espejos enfrentados y miramos nuestro reflejo.

El origen de lo fractal

El concepto de fractal lo introdujo Mandelbrot, matemático polaco que nos dejó recientemente, en 2010, y con nombre de delantero de la Real Sociedad. Benoit Mandelbrot definió un tipo de conjunto con una expresión analítica. En 1980, mostró las diversas variantes del conjunto que hoy lleva su nombre. Podemos decir que Mandelbrot es el padre de la Geometría Fractal.

Bueno, en realidad, no es solo cosa de Mandelbrot. Los fractales deben su origen al francés Henri Poincaré. Sus ideas fueron tomadas por dos matemáticos, también franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, hacia el año 1918.

En concreto, fue Julia quien estableció un tipo de conjuntos que nunca pudo ilustrar (al no tener ordenadores) y que guardan relación con los que Mandelbrot propondría 60 años después.

Tras Julia, hubo un paréntesis en el estudio de los fractales. No se retomaron hasta 1974, cuando la empresa IBM les dio un enorme impulso, contratando a los mejores matemáticos de la época y aprovechando el desarrollo de la computación digital.

Vista del conjunto de Mandelbrot. Wikimedia Commons / Wolfgang Beyer, CC BY-SA

Las formas fractales forman parte de la naturaleza

Las formas fractales, esas en las que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica.

Un ejemplo, son las simetrías, las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética. Otro, las espirales, figuras de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio).

Pero también formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas. Es decir, posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas.

Es el caso de las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presenta una forma similar a la rama mayor de la que forma parte. No se queda aquí: esta, además, es similar a la forma del árbol.

Ahora bien, cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Los fractales en medicina: cómo las matemáticas “salvan vidas”

Si hacemos referencia a algo realmente relevante en nuestra vida es precisamente la propia vida. Aquí tienen mucho que decir los fractales, sobre todo en medicina.

A la hora de representar la naturaleza con fidelidad, los triángulos, rectángulos, elipses, etc. no bastan. Lo mismo sucede con paisajes, montañas, nubes o rostros faciales. Faltaba algo más.

Es por ello por lo que el concepto de fractal ha sido la clave. A esta simulación de fractales se la conoce como autosimilaridad estadística, una repetición de ciertos patrones a nivel computacional. Pixar lo utilizó en los 90, y lo sigue utilizando, cambiando totalmente la simulación en 3 dimensiones.

Ahora bien, tienen un uso que va más allá de diseño gráfico. De hecho, se trata de un caso claro de cómo “las matemáticas salvan vidas”. Nuestro cerebro, nuestros pulmones, nuestra huella dactilar, incluso nuestros dientes tienen estructura de fractal. Todos los programas de reconocimiento médico avanzados usan esta tecnología. Por ejemplo, para poder localizar un tumor, el daño producido por diversas enfermedades o el consumo de drogas.

Son muchas las nuevas tecnologías que se aplican al campo de la medicina. Entre ellas, los escáneres que realizan una resonancia magnética nuclear. Estos toman imágenes en dos dimensiones para posteriormente transformarlas a tres dimensiones y, así, conocer mejor la estructura interna de los órganos. Tales imágenes aportan información a la investigación sobre que el cerebro posee una estructura fractal, de una dimensión que está entre dos y tres.

Los fractales nacieron de esa curiosidad por estudiar unas figuras geométricas nuevas, unas figuras de dimensiones no enteras. Una locura para muchos, una realidad para el que tiene la capacidad de imaginar.

No hubo más interés que la mera curiosidad por el conocimiento. Mandelbrot no buscó una aplicación pero, como casi todo en Matemáticas, tarde o temprano se encuentra una utilidad práctica.

Esta es una historia de serendipia, una herramienta realmente importante que surge como producto de un algo involuntario. Y los fractales han tenido un uso bien rápido. Fractales han sido esenciales en la simulación por ordenador, se están usando en la mejora y reducción de ruido en radiografías, en el reconocimiento facial, de voz y hasta táctil. Los fractales detectan nuestra unicidad en el mundo.

Porque sí: el mundo está fractal.

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