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Représentation graphique du problème mathématique dit des lacs de Wada.
Une représentation de lacs de Wada : en un seul pas, on peut arriver dans différents pays car ils partagent la même frontière. Yves Coudène, Sorbonne Université, Fourni par l'auteur

Une contre-intuition mathématique : trois pays séparés par une seule frontière

Serait-il possible de redessiner la carte du monde de façon à ce que tous les pays aient une seule et unique frontière (ou, en d’autres termes, exactement la même frontière) ?

Voilà une question pour le moins étonnante, dont la réponse peut potentiellement changer notre appréhension de la notion de frontière. Même si une réponse affirmative semble déboucher sur l’absurde, essayons d’imaginer un monde où tous les pays seraient séparés non pas par leurs frontières, mais plutôt par une seule frontière, commune à tous.

Dans un monde à une seule frontière, si on est à un point quelconque de la frontière de tous les pays, nous pouvons en faisant un seul pas dans une direction bien choisie accéder à tout pays de notre choix. Ainsi, à partir d’un point de la frontière on pourrait en seulement quelques minutes prendre un thé au Japon, un café au Brésil ou assister à un concert en Australie… On pourrait même faire tout cela dans une seule après-midi ! Mais un tel monde peut-il vraiment exister ?

À rebours de notre intuition, un tel monde peut exister : il est possible qu’un nombre quelconque de pays soient séparés par une seule frontière, mais malheureusement pour nous, vivre dans un tel monde ne serait pas aussi pratique qu’on peut le penser.

Ce résultat a été décrit en 1917 par le mathématicien japonais Kunizo Yoneyama, qui attribue sa découverte à son professeur Takeo Wada. Yoneyama décrivit le résultat non pas en termes de pays séparés par des frontières, mais plutôt en termes de lacs séparés par des portions de terre. C’est ainsi qu’aujourd’hui des pays avec exactement la même frontière sont appelés en mathématiques des « lacs de Wada ». Malgré leur nature surprenante, de nos jours, les lacs de Wada apparaissent naturellement dans l’étude des systèmes chaotiques.

La vie dans un « monde de Wada » à une frontière a l’air assez exotique et presque inimaginable, mais peut-être pouvons-nous mieux la concevoir dans les cas d’un monde à deux ou trois pays séparés par une seule frontière.

Le cas de deux pays

Peut-on tracer deux pays sur la Terre avec exactement la même frontière ? Il se trouve que non seulement c’est possible, mais aussi que c’est l’unique cas où la vie dans un monde de Wada peut ne pas être si différente de la nôtre.

En effet, imaginez un pays A qui contient tout l’hémisphère nord de la Terre et un pays B qui contient tout l’hémisphère sud. Les deux pays sont séparés par l’équateur ; ils ont donc exactement la même frontière.

Essayons à présent d’imaginer la vie dans un tel monde. Supposons qu’on se trouve à un point de la frontière entre les deux pays. En partant vers le Nord on pourra en quelques instants visiter des villes ou admirer des paysages du pays A. De même, on pourra visiter le pays B en partant vers le Sud.

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Ainsi, notre rêve de voyager en une après-midi dans tous les pays du monde à partir d’un point quelconque de leur frontière commune semble être réalisable dans ce cas. Malheureusement, il s’avère que le monde de Wada à deux pays constitue l’unique cas où notre rêve est réalisable, car la vie dans les mondes de Wada à trois pays ou plus devient considérablement plus complexe.

Le cas de trois pays

Sphère divisée en trois par deux lignes parallèles.
Ces trois pays n’ont pas la même frontière. Ioannis Iakovoglou, Université de Bourgogne , Fourni par l'auteur

Comment peut-on tracer sur la Terre trois pays séparés par une seule frontière ? Précédemment, en divisant la Terre en deux on a obtenu un monde de Wada à deux pays. Malheureusement, diviser la Terre en trois ne produit pas trois pays avec la même frontière.

Si l’on veut construire un monde à trois pays et une seule frontière, nous pourrions peut-être nous inspirer de la carte du monde actuel. Regardons plus particulièrement comment trois pays s’intersectent aujourd’hui. Les points d’« intersection triple », autrement dit les intersections entre trois pays, ne sont pas un phénomène rare de nos jours, même pour la France. En effet, il existe entre autres un point d’intersection entre la France, la Suisse et l’Italie, mais proche de ce point dans la frontière française il n’existe que des points d’intersection double (France-Italie, France-Suisse). La même chose se produit pour tous les points triples des frontières des pays d’aujourd’hui.

Le point noir est un point triple entre la France, la Suisse et l'Italie: de ce point précis, on peut atteindre trois pays en faisant un pas si l'on choisit bien sa direction. Vector4 Free, Fourni par l'auteur

Pourtant, si l’on veut construire trois pays séparés par une seule frontière, il nous faudra construire des pays qui ne contiennent que des points d’intersection triple dans leurs frontières et aucun point d’intersection double. Comment peut-on donc faire en sorte qu’un pays ne contienne aucun point double dans sa frontière ?

Wada décrit une méthode simple pour répondre à la question précédente. La méthode de Wada peut être vue comme une évolution de trois pays dans le temps, à travers une série de campagnes d’annexion sans conflits. Le seul inconvénient de la méthode de Wada, c’est qu’ elle prend fin après un nombre infini d’étapes d’annexion ; il sera donc impossible de tracer le résultat final, mais on pourra peut-être après un nombre fini d’étapes terminer le dessin par nous-mêmes en nous laissant guider par notre imagination.

Décrivons ainsi la méthode de Wada. Commençons par tracer sur la carte de la Terre trois pays : rouge, bleu et vert. Le pays rouge va englober presque toute la Terre sauf un espace qui aura la forme d’un rectangle et les pays bleu et vert vont avoir la forme d’un carré. L’espace blanc à l’intérieur du pays rouge n’appartient pour l’instant à aucun des trois pays.

Deux carrés, vert et bleu, encerclés par un pays rectangulaire rouge.
Au départ, on a deux pays carrés encerclés par un pays rectangulaire. Ioannis Iakovoglou, Université de Bourgogne, Fourni par l'auteur

Pendant chaque étape d’annexion, un pays va étendre ses frontières tout en laissant suffisamment d’espace pour que les deux autres puissent davantage étendre les leurs. En suivant la méthode de Wada, pendant la première étape d’annexion, le pays rouge va étendre ses frontières dans la zone blanche de manière à ce que tout point de la zone blanche soit à une distance d’au maximum un mètre du nouveau pays rouge. Ainsi, après la première campagne d’annexion, la région blanche sera devenue plus étroite.

Le pays rouge s'étend avec un ligne rouge qui reste à distance égale de rouge, bleu, vert, de façon à ce que tout point de la zone blanche soit à 1 mètre maximum du pays rouge.
Deuxième étape: le pays rouge s'étend, de façon à ce que tout point de la zone blanche soit à 1 mètre maximum du pays rouge. Ioannis Iakovoglou, Université de Bourgogne, Fourni par l'auteur

Pendant la deuxième étape d’annexion, le pays bleu va étendre ses frontières dans la nouvelle zone blanche de manière à ce que tout point de la zone blanche soit à une distance d’au maximum 12 mètre du nouveau pays bleu. Ainsi, la taille de la zone blanche aura davantage diminué.

Le pays bleu s'étend de façon à ce que tout point de la zone blanche soit à 1/2 mètre de distance maximum du pays bleu
Troisième étape: le pays bleu s'étend de façon à ce que tout point de la zone blanche soit à ½ mètre de distance maximum du pays bleu. Ioannis Iakovoglou, Université de Bourgogne, Fourni par l'auteur

On va poursuivre le procédé d’annexion de la même façon. Pendant la n-ème étape d’annexion, à tour de rôle un des pays va étendre ses frontières de manière à ce que tout point de la zone blanche ait une distance d’au plus 1n mètre du pays. Ainsi, la zone blanche deviendra tellement étroite qu’elle sera de moins en moins visible à l’œil nu.

À l'étape n, la zone blanche, qui sépare les trois pays, n'est presque plus visible à l’œil nu.
À l'étape n, la ligne blanche, qui est en fait la frontière entre les trois pays, n'est presque plus visible à l’œil nu. Ioannis Iakovoglou, Université de Bourgogne, Fourni par l'auteur

Après un nombre infini d’étapes, la construction de Wada prendra fin. On obtient ainsi trois pays, le pays rouge, bleu et vert qui serpentent l’un autour de l’autre et une zone blanche qui est infiniment étroite ! De plus, par notre construction, on a successivement assuré que le pays rouge se trouve à une distance d’au plus 1 mètre, ensuite 12 mètre, puis 13 mètre, 14 mètre, etc de tout point de la zone blanche. Ainsi, arbitrairement proche de tout point de la zone blanche, il existe une zone appartenant au pays rouge. De même pour les pays bleu et vert. Par conséquent, les trois pays s’accumulent sur la même zone blanche infiniment étroite qui a survécu à la série infinie d’annexions. C’est ainsi que la zone blanche finale va former une « ligne » de séparation des trois pays ou, autrement dit, la frontière commune du pays rouge, bleu et vert.

Notez que les pays qu’on a obtenus ne ressemblent en rien à des pays qui existent sur la carte du monde actuel. En effet, afin d’annexer des zones blanches de plus en plus étroites (presque infiniment étroites), les pays eux-mêmes vont par endroits devenir très étroits par rapport à la taille humaine. Ainsi, un humain proche de ces régions infiniment étroites ne pourra qu’appartenir à plusieurs pays en même temps.

Cela entraînerait de nombreuses complications sur le plan de la vie quotidienne dans un monde à trois pays séparés par une seule frontière. Afin de sortir du pays rouge et de passer au pays vert, un humain, à cause de sa taille, serait obligé de sortir et de rentrer au pays vert une infinité de fois, avant qu’il puisse accéder à une zone du pays vert assez large pour contenir une personne. Ainsi, bien qu’on puisse visiter en quelques minutes une partie très étroite du pays vert, les zones du pays vert suffisamment grandes pour contenir une ville se trouvent peut-être loin de nous. On pourrait même être à une distance de plusieurs centaines de kilomètres de la ville du pays vert qui est la plus proche de nous.

Il semblerait que dans ce cas notre rêve de pouvoir en une seule après-midi voyager dans des villes de tous les pays du monde à partir d’un point quelconque de leur frontière commune ne peut malheureusement être réalisé. Cependant, l’existence d’un monde où tous les pays partagent une seule frontière reste une idée d’une beauté remarquable et constitue une preuve de la puissance de notre imagination : de remettre en cause notre intuition et de trouver le beau dans le contre-intuitif.

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