Más de 2 300 misiles V-1 cayeron sobre Londres en la II Guerra Mundial. ¿Sus objetivos estaban seleccionados o se dejaban al azar? El análisis estadístico de los impactos permite dar respuesta a uno de los momentos decisivos del fin de la guerra.
Las dudas sobre la tecnología alemana
El misil V-1, cuyo nombre en alemán (Vergeltungswaffe 1) significa arma de represalia 1, fue el primer misil guiado que se usó en la Segunda Guerra Mundial. Los V-1 se lanzaron sobre Londres en junio de 1944, pocos días después del desembarco de Normandía. Alrededor de 2 400 de estos misiles impactaron en la ciudad, causando miles de víctimas.
Los aliados desconocían exactamente hasta dónde llegaba la tecnología alemana. A veces daba la impresión de que los impactos se agrupaban formando conglomerados, por lo que había dudas de si los alemanes eran capaces de dirigir los misiles hacia ciertos objetivos o si los impactos eran totalmente aleatorios. En 1946, R. D. Clarke escribió un breve artículo en el que analizó estadísticamente este problema aplicando la distribución de Poisson.
Los misiles y la distribución de Poisson
En estadística, un proceso de Poisson homogéneo es un modelo para describir la distribución de las ocurrencias de cierto suceso en una región del espacio (en nuestro caso, los impactos de los misiles en el área de Londres).
Si dividimos la región en un número grande de cuadrados de la misma extensión que no se solapan, la fórmula de Poisson prescribe el número aproximado de cuadrados en los que no ocurren sucesos, en cuántos ocurre solo uno, en cuántos ocurren dos, etc. Si los puntos obedecen esta fórmula, entonces son completamente aleatorios en el sentido de que no hay regularidades en su distribución, ni zonas con mayor densidad de puntos que otras.
Clarke comienza su artículo escribiendo eufemísticamente que algunos lectores podrían estar interesados en “una aplicación de la distribución de Poisson que he tenido ocasión de llevar a cabo en el curso de una investigación práctica”. Al parecer había trabajado en la inteligencia militar durante la guerra.
Posteriormente, el trabajo de Clarke se hizo bastante conocido cuando William Feller lo incluyó en una lista de aplicaciones de la distribución de Poisson en su libro de texto clásico Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones.
El hermético escritor Thomas Pynchon, que durante un tiempo estudió física e ingeniería, probablemente conocía el libro de Feller, pues en su novela El arco iris de la gravedad se lee:
Domina ahora su pequeño despacho un vistoso mapa (…) entintado fantasma de Londres dividido en 576 cuadros de un cuarto de kilómetro cuadrado cada uno. Las caídas de los cohetes están representadas por círculos rojos. La ecuación de Poisson dirá, para un número total de impactos arbitrariamente elegido, cuántos cuadros no recibirán ninguno, cuántos uno, dos, tres, y así de forma sucesiva.
Efectivamente, Clarke dividió un área de 144 km² del sur de Londres en 576 pequeños cuadrados de 0,25 km². En esta área se habían registrado 537 impactos en total, dando una media de 537/576 impactos en cada cuadrado pequeño. Clarke contó en cuántos de estos cuadrados no habían caído misiles, en cuántos había caído uno, en cuántos dos, etc., y comparó las frecuencias observadas con las resultantes al aplicar la fórmula de Poisson, obteniendo los datos siguientes:
| Número de impactos | Frecuencia según la fórmula de Poisson | Frecuencia observada realmente |
|---|---|---|
| 0 | 226,74 | 229 |
| 1 | 211,39 | 211 |
| 2 | 98,54 | 93 |
| 3 | 30,62 | 35 |
| 4 | 7,14 | 7 |
| 5 o más | 1,57 | 1 |
| Total | 576 | 576 |
El ajuste de los datos a la distribución de Poisson es muy bueno, sugiriendo que los impactos eran completamente aleatorios.
Los lugares de los impactos
La historia estadística de las bombas V-1 en Londres tiene una segunda parte mucho más reciente. En el artículo de Clarke no aparecen los lugares concretos donde cayeron los misiles, pero durante la Segunda Guerra Mundial el LCC (London County Council) registró los daños de los edificios dentro del entonces llamado Condado de Londres.
Los mapas –publicados en 2015– se actualizaban a mano coloreando los edificios dañados. Los investigadores Liam P. Shaw y Luke F. Shaw extrajeron manualmente las localizaciones, para lo que uno de ellos (Liam) tuvo que revisar 190 páginas A3 y añadir una por una las posiciones de los impactos en Google Maps.
El resultado es esta página de Google Maps desde la que se pueden bajar los lugares de los impactos.
Clarke solo tuvo en cuenta la zona de Londres al sur del río en la que la densidad de los impactos parece ser mayor. Shaw y Shaw (2019) afirman que si hubiera tenido en cuenta una zona más amplia la conclusión hubiera sido rechazar que los impactos se repartían uniformemente.
Un análisis alternativo
Una alternativa para analizar los datos consiste en considerar el radio del mayor círculo que es posible situar en el mapa de tal forma que su interior no contenga impactos. Se compara entonces este radio con el que cabría esperar si los puntos fueran realmente uniformes y se rechaza que lo son si el radio es demasiado grande. Para los impactos de los misiles, el círculo máximo es el siguiente:
Puede comprobarse que el radio de este círculo es mucho mayor de lo que cabría esperar si los puntos tuvieran una distribución uniforme. La conclusión coincide con Shaw y Shaw (2019) en cuanto a que, si consideramos toda la zona, se rechaza la distribución uniforme de los impactos.
Una versión de este artículo fue publicada originalmente en el blog del autor Caminos aleatorios.