Panneaux photovoltaïques, commune des Mées (Alpes-de-Haute-Provence), photo de Christian Pinatel de Salvator; surimpression des équations mathématiques de la thèse de l'auteur. Wikimedia Commons, modifiée, CC BY-SA

Un éclairage mathématique sur l’ingénierie du photovoltaïque

La consommation mondiale en énergie connaît une augmentation considérable depuis des décennies, augmentation qui n’est pas près de s’arrêter selon les rapports de l’US Energy Information Administration. La majorité de la production énergétique mondiale est issue de sources limitées et polluantes avec des conséquences dramatiques sur la santé de notre planète comme l’indique l’International Energy Agency. Il devient donc plus que nécessaire de développer d’autres sources propres et durables. L’énergie solaire photovoltaïque fait partie des candidats favoris à cette transition énergétique. Aussi, de nombreuses équipes de recherche œuvrent à développer de nouvelles technologies de cellules solaires dans l’objectif d’améliorer leurs rendements, de diminuer leur coût et de limiter l’empreinte carbone de leur fabrication.

À travers cet article, nous verrons comment les mathématiques peuvent participer à cette aventure technologique dont l’enjeu dépasse le simple loisir scientifique. Nous expliquerons comment les outils de simulation numérique peuvent apporter un éclairage nouveau sur la question du rendement photovoltaïque, appuyant ainsi les méthodes usuelles en ingénierie des matériaux. L’objectif de l’article n’est pas de donner les détails techniques ou les résultats de notre étude, mais vise surtout à exposer les étapes clés d’une démarche de recherche en mathématiques appliquées.

Fonctionnement d’une cellule photovoltaïque

Rappelons d’abord succinctement le mode de fonctionnement d’une cellule solaire photovoltaïque.

Une cellule photovoltaïque est fabriquée avec un matériau semi-conducteur qui a la particularité de conduire le courant électrique sous l’excitation de la lumière. Les électrons à la surface de la cellule n’ont en effet besoin que d’un petit coup de pouce énergétique pour se déplacer et créer ainsi le courant électrique tant convoité. Cet apport énergétique est fourni par la lumière du soleil. En réalité, seule une toute petite fraction de la lumière solaire est captée par les cellules photovoltaïques. En conséquence, le rendement des cellules (c’est-à-dire le rapport entre l’énergie reçue en entrée et l’énergie électrique produite en sortie) reste très limité. Ce rendement varie selon les matériaux et augmente à mesure que les technologies se perfectionnent, mais ne dépassent pas encore les 28 % pour les cellules classiques à base de Silicium et les 20 % dans le cas des cellules à couches minces.

Comment fonctionnent les panneaux solaires ? (C’est pas sorcier).

Le but du jeu consiste donc à améliorer ce rendement. Pour cela, on commence d’abord par décrire ce qu’est un matériau « optimal » en théorie et ensuite, grâce à la fascinante efficacité des mathématiques, on essaie de retrouver les matériaux existant en pratique qui nous permettront de construire des cellules « optimales » ? On appelle une telle démarche d’ingénierie « inverse design » et en mathématiques, c’est un « problème inverse ».

Modéliser, analyser, simuler : une recette efficace

La première étape de l’étude consiste à faire un modèle mathématique du système. Il s’agit d’éliminer toutes les questions secondaires à travers des hypothèses simplificatrices pour ne se concentrer que sur la question principale. Dans notre cas, cette question est : « Quelles sont les niveaux d’énergie des électrons de la cellule ? » En effet, la réponse à cette question permet de prédire la quantité d’énergie nécessaire pour mettre en mouvement les électrons, et donc créer un courant électrique.

Pour élaborer notre modèle, on suppose que le matériau photovoltaïque est composé d’une infinité d’atomes parfaitement ordonnés (cette hypothèse est évidemment fausse mais représente une approximation suffisante pour les calculs). Les électrons de ces atomes peuvent bouger à travers une quantité qu’on appelle le « potentiel atomique », dont la forme dépend du matériau utilisé.

Erwin Schrödinger en 1933. Wikipedia

Par ailleurs, en suivant le formalisme de la physique quantique, on considère que les niveaux d’énergie que l’on cherche à calculer sont donnés par les solutions de la fameuse équation de Schrödinger.

En pratique, ces niveaux d’énergie forment des fonctions qu’on appelle des bandes d’énergie séparées par des gaps. Un de ces gaps est particulièrement important : il faut l’imaginer comme l’apport énergétique nécessaire pour faire bouger un électron. Le rendement d’un matériau photovoltaïque est donc lié à la taille de ce petit coup de pouce énergétique.

Identifier la cible avec les collègues chimistes et physiciens

Maintenant que toutes les briques nécessaires sont réunies, on peut enfin formuler notre problème inverse comme ceci : pour des bandes d’énergie données, peut-on identifier le potentiel atomique, et donc, à terme, le matériau optimal, qui permet d’atteindre ces bandes cibles ? Le schéma général de la démarche est présenté ci-dessous.

Schéma de la procédure de recherche. Author provided

Une fois que les équations du modèle sont établies, ajustées et discutées avec les physiciens et les chimistes, l’étape la plus excitante pour un mathématicien consiste à les interroger pour leur faire avouer tous leurs secrets. Il s’agit d’abord de vérifier que le problème est bien posé et qu’il admet donc bien une solution qui dépend des paramètres de manière raisonnable. En pratique, ce n’est jamais aussi simple. Par exemple, notre problème inverse nécessite l’appel à d’étonnants espaces mathématiques abstraits pour pouvoir être résolu. Il s’agit ensuite de décrire les solutions et leurs propriétés : sont-elles continues, dérivables, singulières ?

Ensuite, on fait appel à la puissance des ordinateurs pour visualiser, analyser et interpréter les solutions optimales trouvées (c’est-à-dire les potentiels atomiques correspondant aux bandes d’énergie cibles) à la lumière des connaissances des physiciens. On commence par formuler notre problème inverse comme un problème d’optimisation qui consiste à partir d’une solution quelconque (potentiellement fausse) et de l’améliorer petit à petit pour se rapprocher de la solution optimale. Ceci se fait en pratique par une méthode appelée « descente de gradient » qu’on peut apparenter à un skieur qui part du haut de la piste (solution rejetée) et qui slalome le long de la pente pour s’immobiliser finalement en bas de la piste (solution acceptée).

Le travail de l’ingénieur en science des matériaux peut alors commencer, puisque désormais il dispose d’un code de simulation qui lui donne la forme optimale du potentiel atomique correspondant à chaque profil énergétique cible. L’étape suivante sera alors d’exploiter ce potentiel atomique optimal (qui à ce stade n’est rien d’autre qu’une courbe mathématique) pour identifier, parmi tous les matériaux connus sur terre, la combinaison optimale de matériaux qui permet de réaliser le résultat prédit par le modèle. Mais, c’est encore une tout autre histoire, numérique elle aussi, pour venir en appui aux essais expérimentaux.

La prochaine étape

Loin de prétendre révolutionner la technologie de l’énergie photovoltaïque des cellules à couches minces, notre étude a surtout un impact méthodologique en montrant que l’optimisation du rendement des cellules photovoltaïques peut s’appréhender par une approche simulation-optimisation (numérique) qui permet d’explorer différentes configurations en peu de temps et à moindre coût, comparée à une approche essai-erreur (matérielle) classique. Désormais, nous œuvrons à améliorer le modèle pour mieux représenter la structure tridimensionnelle des potentiels atomiques. Nous espérons ainsi offrir la possibilité d’explorer certaines combinaisons de matériaux qui n’ont jamais été imaginées par les ingénieurs mais que l’algorithme identifiera comme étant optimales.

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